Ensemble ℕ et notions d’arithmétique – Série d’exercices TCSF

Exercice 01Parité

Soit \(n \in \mathbb{N}\). Étudier la parité des nombres suivants :

\[
2^{n+1}+27
\]

\[
4n^2+8n+13
\]

\[
n^2+5n+3
\]

\[
n(n+1)(n^2+5n+3)
\]

Exercice 02Parité et divisibilité

Soit \(n\in\mathbb{N}\).

1. On pose \(x=2n+4\) et \(y=6n+11\).
   1. Étudier la parité de \(x\) et \(y\).
   2. Simplifier le nombre : \[(6n+11)(-1)^x-(2n+4)(-1)^y.\]
   3. Montrer que \(x^2+(y+1)^2\) est un multiple de \(40\).
2. On pose \(a=19\times7^{2n}-7^{2n+1}\) et \(b=2\times3^{2n+3}+9\times3^{2n}\). Montrer que \(a\) est un multiple de \(3\) et que \(7\) divise \(b\).

Exercice 03Critères de divisibilité

1. Déterminer le chiffre \(a\) pour que le nombre \(\overline{5a74}\) soit divisible par \(3\).
2. Déterminer le chiffre \(b\) pour que le nombre \(\overline{532b}\) soit divisible à la fois par \(2\) et \(9\).
3. Déterminer le chiffre \(c\) pour que le nombre \(\overline{921c}\) soit divisible par \(3\) et non pas par \(9\).
4. Déterminer le chiffre \(d\) pour que le nombre \(\overline{d15d}\) soit divisible par \(2\), \(3\), \(4\) et \(9\).

Exercice 04Nombres premiers

Parmi les nombres de la liste ci-dessous, déterminer ceux qui sont des nombres premiers : \[101\quad;\quad239\quad;\quad387\quad;\quad700107.\]

Exercice 05Diviseurs et couples

1. Déterminer tous les diviseurs de \(12\).
2. Déterminer tous les nombres entiers naturels \(x\) et \(y\) qui vérifient \((x+3)(y+2)=12\).
3. Déterminer tous les couples \((x\,;\,y)\in\mathbb{N}^2\) tels que \(xy+3x+y=12\).
4. Déterminer tous les couples \((a\,;\,b)\in\mathbb{N}^2\) tels que \(ab+a-3b=24\).

Exercice 06Divisibilité — Démonstrations

1. 1. Montrer que les nombres \(n^2+3n+4\) et \(n^2-3n+4\) sont des nombres pairs.
   2. Montrer que \(n^4-n^2+16\) est un multiple de \(4\).
2. Montrer que si \(n+1\) est un multiple de \(4\), alors \(n^2+3\) est aussi un multiple de \(4\).
3. Montrer que si \(n\geq4\) et \(n-4\) est un multiple de \(5\), alors \(n^2-1\) est aussi un multiple de \(5\).
4. Soit \(n\) un entier naturel impair.
   1. Étudier la parité de \(n^2-1\) et \(n^2+1\).
   2. Montrer que \(8\) divise \(n^2-1\).
   3. Déduire que \(n^4-1\) est un multiple de \(16\).

Exercice 07Décomposition — PGCD — PPCM

1. Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres suivants : \[156\;;\quad495\;;\quad2160\;;\quad4860.\]
2. Déduire \(\operatorname{PGCD}(2160\,;4860)\) ; \(\operatorname{PGCD}(156\,;495)\) ; \(\operatorname{PPCM}(2160\,;4860)\) ; \(\operatorname{PPCM}(156\,;495)\).
3. Simplifier \(\sqrt{2160}\) ; \(\sqrt{4860}\) et \(\dfrac{2160}{4860}\).
4. Montrer que \(\sqrt{2160\times4860}\in\mathbb{N}\).

Exercice 08Application : PGCD, PPCM, carré parfait

Soit \(a\) et \(b\) deux nombres entiers naturels tels que \(a=4680\) et \(b=5940\).

1. Décomposer \(a\) et \(b\) en produit de facteurs premiers.
2. En déduire la décomposition de \(a^2\times b^3\).
3. Déterminer \(\operatorname{PGCD}(a\,;b)\) et \(\operatorname{PPCM}(a\,;b)\).
4. Vérifier que \(\operatorname{PGCD}(a\,;b)\times\operatorname{PPCM}(a\,;b)=a\times b\).
5. Déterminer le plus petit entier naturel \(n\) non nul pour que \(na\) soit un carré parfait.
6. Déterminer le plus petit entier naturel \(m\) non nul pour que \(mb\) soit un cube d’un entier naturel.

Exercice 09PGCD et PPCM en fonction de n

Soit \(n\in\mathbb{N}\). On pose : \[a=5^{n+2}-5^n\qquad\text{et}\qquad b=7\times5^n+5^{n+1}.\]

1. Montrer que \(a\) est un multiple de \(3\) et que \(12\) divise \(b\).
2. Décomposer, en fonction de \(n\), \(a\) et \(b\) en produit de facteurs premiers.
3. Déterminer \(\operatorname{PGCD}(a\,;b)\) et \(\operatorname{PPCM}(a\,;b)\) en fonction de \(n\).

Exercice 10Nombres premiers et différence de carrés

Soit \(n\in\mathbb{N}\) un nombre premier supérieur ou égal à \(3\). On pose \(x=\dfrac{n+1}{2}\) et \(y=\dfrac{n-1}{2}\).

1. Vérifier que \(x\) et \(y\) sont des entiers naturels.
2. Calculer \(x^2-y^2\) en fonction de \(n\).
3. Déduire que tout nombre premier supérieur ou égal à \(3\) peut s’écrire comme la différence des carrés de deux entiers naturels consécutifs.
4. Déterminer cette différence dans le cas où \(n=41\).