Ce cours présente l’ensemble des nombres entiers naturels et les principales notions d’arithmétique étudiées au Tronc Commun Sciences.
Volume horaire : 7 heures
- Utiliser la parité et la décomposition en produit de facteurs premiers pour résoudre des problèmes simples portant sur les entiers naturels.
- Reconnaître et utiliser les ensembles \( \mathbb{N} \) et \( \mathbb{N}^* \) ; maîtriser les symboles \( \in \), \( \notin \), \( \subset \), \( \not\subset \), \( \cap \), \( \cup \).
- Déterminer et utiliser le PGCD et le PPCM de deux entiers naturels non nuls.
- Opérations de base sur les entiers naturels (addition, soustraction, multiplication, division euclidienne).
- Notions élémentaires sur les ensembles (appartenance, inclusion).
- Tables de multiplication et notions intuitives de divisibilité.
I. Ensemble des nombres entiers naturels \( \mathbb{N} \)
Parmi les nombres suivants : \(0\) ; \(8\) ; \(\sqrt{25}\) ; \(\sqrt{34}\) ; \(12{,}5\) ; \(\dfrac{12}{3}\). Préciser ceux qui sont des nombres entiers naturels.
- Les nombres entiers naturels forment un ensemble noté \( \mathbb{N} \) tel que : \[\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5,\ldots\}\]
- Les nombres entiers naturels non nuls forment un ensemble noté \( \mathbb{N}^* \) tel que : \[\mathbb{N}^*=\{1,2,3,4,5,\ldots\}\]
- \(3\) est un entier naturel, on dit que \(3\) appartient à \(\mathbb{N}\) et on écrit \(3\in\mathbb{N}\).
- \(-5\) n’est pas un entier naturel, on dit que \(-5\) n’appartient pas à \(\mathbb{N}\), on écrit \(-5\notin\mathbb{N}\).
- \(4\) est un entier naturel non nul, on écrit \(4\in\mathbb{N}^*\).
- L’ensemble \(\mathbb{N}\) est infini : si \(n\in\mathbb{N}\) alors son successeur \(n+1\in\mathbb{N}\).
- Le symbole \(\in\) se lit « appartient à » et \(\notin\) se lit « n’appartient pas à ».
Compléter par \( \in \) ou \( \notin \) :
II. Divisibilité dans \( \mathbb{N} \)
1. Nombres pairs — Nombres impairs
Parmi les nombres \(12\), \(15\), \(24\), \(37\), \(100\) : lesquels sont divisibles par \(2\) ?
Soit \(a\) un nombre entier naturel :
- \(a\) est un nombre pair s’il existe \(k\in\mathbb{N}\) tel que \(a=2k\).
- \(a\) est un nombre impair s’il existe \(k\in\mathbb{N}\) tel que \(a=2k+1\).
\(144=2\times72\), donc \(144\) est pair.
\(161=2\times80+1\), donc \(161\) est impair.
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres entiers naturels :
| \(a\) | \(b\) | \(a+b\) | \(a-b\;(a>b)\) | \(a\times b\) |
|---|---|---|---|---|
| Pair | Pair | Pair | Pair | Pair |
| Pair | Impair | Impair | Impair | Pair |
| Impair | Pair | Impair | Impair | Pair |
| Impair | Impair | Pair | Pair | Impair |
1. Étudier la parité de : \(1359+59321\) ; \(9782-652\) ; \(732\times753\).
2. Soit \(n\in\mathbb{N}\). Étudier la parité de : \(2n+3\) ; \(4n^2+2n+5\) ; \(1+(n+1)^2+(n+2)^2\).
Le produit de deux nombres entiers naturels consécutifs est toujours un nombre pair.
Soit \(n\in\mathbb{N}\). Montrons que \(n(n+1)\) est pair.
1er cas : Si \(n=2k\) est pair, alors \(n(n+1)=2k(2k+1)=2k’\), donc \(n(n+1)\) est pair.
2ème cas : Si \(n=2k+1\) est impair, alors \(n(n+1)=(2k+1)(2k+2)=2(2k+1)(k+1)=2k”\), donc \(n(n+1)\) est pair.
D’après les deux cas, \(n(n+1)\) est pair pour tout \(n\in\mathbb{N}\). \(\square\)
Soit \(n\in\mathbb{N}\). Étudier la parité de : \(n^2+3n+2\) et \(n^2+7n+13\).
2. Multiple et diviseur d’un nombre entier naturel
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels. S’il existe un entier naturel \(k\) tel que \(a=k\times b\), alors :
- \(a\) s’appelle le multiple de \(b\).
- \(b\) s’appelle le diviseur de \(a\).
- \(k\) s’appelle le quotient de \(a\) par \(b\).
\(30=2\times15\) : \(30\) est un multiple de \(15\) ; \(15\) est un diviseur de \(30\) ; \(2\) est le quotient de \(30\) par \(15\).
- \(0\) est un multiple de tous les entiers naturels.
- \(1\) est un diviseur de tous les entiers naturels.
1. Déterminer les diviseurs de \(36\) et de \(82\).
2. Déterminer les multiples de \(3\) inférieurs ou égaux à \(50\).
3. Critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5 et 9
Soit \(n\) un entier naturel. On dit que \(n\) est divisible par :
- 2 si son chiffre des unités est \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) ou \(8\).
- 5 si son chiffre des unités est \(0\) ou \(5\).
- 3 ou 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de \(3\) ou \(9\).
- 4 si les deux derniers chiffres forment un multiple de \(4\).
- \(4725\) : divisible par \(5\) (unités \(=5\)) et par \(3\) et \(9\) car \(4+7+2+5=18\), multiple de \(9\).
- \(1628\) : divisible par \(2\) (unités \(=8\)) et par \(4\) car \(28=4\times7\).
Étudier la divisibilité de \(3\,611\,790\) par \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) et \(9\).
III. Nombres premiers
Déterminer les diviseurs de \(2\), \(3\), \(5\) et \(17\). Que remarquez-vous ?
Un entier naturel supérieur ou égal à \(2\) est dit premier s’il possède exactement deux diviseurs : \(1\) et lui-même.
- \(1\) n’est pas un nombre premier (un seul diviseur).
- \(2\) est le seul nombre pair premier.
- Pour tester la primalité de \(n\) : chercher les nombres premiers \(p\) tels que \(p\leq\sqrt{n}\). Si \(n\) est divisible par l’un d’eux, alors \(n\) n’est pas premier. Sinon, \(n\) est premier.
\(37\) est-il premier ? On a \(\sqrt{37}\approx6{,}08\). Les premiers \(\leq\sqrt{37}\) sont \(2\), \(3\) et \(5\).
\(37\) n’est divisible ni par \(2\), ni par \(3\), ni par \(5\), donc \(37\) est premier.
Étudier la primalité des nombres : \(101\) ; \(137\) ; \(1563\).
IV. Décomposition en produit de facteurs premiers
Tout entier naturel \(\geq2\) admet une décomposition unique en produit de facteurs premiers (à l’ordre des facteurs près).
\(30=2\times3\times5\) est la décomposition de \(30\) en produit de facteurs premiers.
Décomposer en produit de facteurs premiers : \(48\) ; \(612\) ; \(1530\) ; \(3240\).
V. PGCD et PPCM
1. PGCD (Plus Grand Commun Diviseur)
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels non nuls. Le plus grand commun diviseur de \(a\) et \(b\), noté \(\mathrm{PGCD}(a,b)\) ou \(a\wedge b\), est le plus grand entier divisant à la fois \(a\) et \(b\).
Remarque : Comme \(1\) divise tout entier, on a toujours \(\mathrm{PGCD}(a,b)\geq1\).
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels non nuls. \(\mathrm{PGCD}(a,b)\) est le produit des facteurs premiers communs à \(a\) et \(b\), chacun affecté de la plus petite puissance.
\(132=2^2\times3\times11\) et \(120=2^3\times3\times5\), donc \(\mathrm{PGCD}(132,120)=2^2\times3=12\).
Déterminer les diviseurs de \(36\) et \(84\), puis déduire \(\mathrm{PGCD}(36,84)\).
Déterminer \(\mathrm{PGCD}(180,174)\) et \(\mathrm{PGCD}(156,495)\).
Deux entiers naturels \(a\) et \(b\) sont dits premiers entre eux si et seulement si \(\mathrm{PGCD}(a,b)=1\).
Montrer que \(37\) et \(8\) sont premiers entre eux.
2. PPCM (Plus Petit Commun Multiple)
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels non nuls. Le plus petit commun multiple non nul de \(a\) et \(b\), noté \(\mathrm{PPCM}(a,b)\) ou \(a\vee b\), est le plus petit entier non nul divisible à la fois par \(a\) et \(b\).
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels non nuls. \(\mathrm{PPCM}(a,b)\) est le produit de tous les facteurs premiers (communs et non communs) de \(a\) et \(b\), chacun affecté de la plus grande puissance.
\(45=3^2\times5\) et \(120=2^3\times3\times5\), donc \(\mathrm{PPCM}(45,120)=2^3\times3^2\times5=360\).
1. Déterminer \(\mathrm{PPCM}(12,15)\).
2. Décomposer \(45\) et \(120\) en produit de facteurs premiers, puis déduire \(\mathrm{PPCM}(45,120)\).
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